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Número complejo

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

Definición

Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

Suma

$(a, b) + (c, d) = (a+c,\, b+d)$

Producto por escalar

$r(a, b) = (ra,\, rb)$

Multiplicación

$(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + cb)$

Igualdad

$(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d$

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

Resta

$(a, b) - (c, d) = (a-c,\, b-d)$

División

$\frac{(a, b)}{(c, d)} = {(ac+bd,\,bc-ad) \over c^2+d^2} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2} , {bc - ad \over c^2 + d^2}\right)$

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que $a = 0$ .

Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

La multiplicación de números complejos es asociativa, conmutativa y distributiva:

Sean $z,w,s \in \mbox{C}$

I) $(zw)s = z(ws)\,$

II) $zw = wz\,$

III) $z(w + s) = zw + zs \,$

Sean $z = a + i b, w = c + i d, s = e + i f \,$ con $a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}$

Por demostrar la propiedad asociativa (I)

$(zw)s = [(a + i b)(c + i d)](e + i f) = [(ac - bd) + i (bc + ad)](e + i f)\,$

$[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,$

Por otra parte

$z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,$

$[a(ce - df) - b(de + cf)] + i [b(ce - df) + a(de + cf)] = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,$

Entonces se cumple $(zw)s = z(ws)\,$ .

Unidad imaginaria

Tomando en cuenta que $(a, 0) \cdot (0, 1) = (0, a)$ , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

$\mathrm{i} = (0, 1) \,\!$

De donde se deduce inmediatamente que,

$\mathrm{i}^2 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1$

Representación binómica

Un número complejo se representa en forma binomial como:

$z = a + bi \,$

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

$a = \hbox{Re}(z)=\Re(z)$

$b = \hbox{Im}(z)=\Im(z)$

Valor Absoluto

Cualquier número puede ser representado en una recta real. El valor absoluto o módulo de un número, constituye la distancia de un punto a al origen. Podemos observar en la recta que se muestra a continuación que la distancia del 3 al origen es 3. De igual forma la distancia del punto -3 al origen también es 3. Esto se apuntaría de la siguiente forma:

│-3│=3

Las barras son leídas como el valor absoluto de lo que está dentro. Sin importar en cual de los lados de la recta real se representa el número. Metódicamente podemos ver que si a es positivo, o sea si se encuentra a la derecha de cero, entonces,

│a│=a

Mientras que si se encuentra a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, tenemos que,

│a│=-a

Lo escribimos de este modo,

El valor absoluto de un número real x, es definido como:

Veamos algunos ejemplos:

Podemos observar como el valor absoluto a una cantidad positiva permanece igual mientras que a una cantidad negativa le cambia el signo.

La expresión a la cual le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo por lo cual el valor absoluto queda igual. Aquí se utilizó la primera parte de la definición.

Si la expresión a la cual le estamos hallando valor absoluto es de signo negativo, el valor absoluto cambiará el signo. Aquí se utiliza la segunda parte de la definición.

Ecuaciones con valor absoluto

Si x es una incógnita en la expresión, entonces no se sabe si x-3 es positivo o negativo. Pero si tenemos la ecuación:

│x-3│=5

Debemos tomar en cuenta las dos posibilidades que tenemos de signo, por lo cual hay dos opciones,

1) x-3=5
2) x-3=-5

La primera opción se da en el caso en que x-3 sea positivo, la segunda opción se da en caso que sea negativo.

Si resolvemos la ecuación tenemos que:

1) x=8
2) x=-2

Consecuentemente estos valores de x satisfacen la ecuación:

│x-3│=5

Las propiedades fundamentales del valor absoluto son:

a) No negatividad

b) Definición positiva

c) Propiedad multiplicativa

d) Propiedad aditiva

Valor absoluto de un número complejo

Un números complejo corresponde a la suma de un número real y un número imaginario. No representan un conjunto que se conforma por una relación binaria de orden parcial en el sentido de los números reales, por lo cual se puede decir que los números complejos no conforman un conjunto ordenado. Se utiliza para este caso una nueva identidad que proporcione entonces otra opción para la definición de valor absoluto si hablamos de complejos. Entonces: